Mathématiques
L'intérêt que les Musulmans portèrent à la science des astres devait nécessairement les conduire à l'étude approfondie des mathématiques.
Ils cultivèrent en effet avec assiduité les diverses branches de cette science. Ils le firent avec une ardeur qui surprend quelque peu l'esprit européen, porté à considérer les Orientaux comme des imaginatifs, réfractaires aux exigences plus rigides de la logique pure.
L'arithmétique, la géométrie et l'algèbre sont redevables aux savants musulmans de découvertes importantes.
En arithmétique, nous employons toujours les chiffres et le système de numération arabes.
L'invention même de l'algèbre est attribuée avec beaucoup de vraisemblance aux Arabes.
Ce fut à la création de la « Maison de la sagesse » le Khalife Al-Mamûn avait confié sa direction à Mohammed ben Mûssa al-Khwarizmi, que Cardan met au nombre des douze plus grands génies du monde. Son traité d'algèbre est intitulé Al-Gebr w'al makalala. (Calcul par restitution). C'est de la
première partie du titre de l'ouvrage que provient le mot « algèbre » et c'est de la déviation du nom de l'auteur « Alkarizmi » qu'on a tiré l'« Algorithme ».
Cet ouvrage, traduit par Gérard de Crémone, après avoir été pendant trois siècles angulaire de l'édifice mathématique élevé par les Arabes postérieurs, devait initier en Europe les premiers collègues occidentaux à la fois aux beautés du calcul algébrique et à celles de l'arithmétique décimale✻.
« L'un des meilleurs esprits scientifiques de l'Islam et al Khwarizmi est sans doute l'homme qui a exercé le plus d'influence sur la pensée mathématique de tout le Moyen Âge. »✻
Il est vrai que certains auteurs font venir, sans preuves plausibles, cette science, ainsi que le système de numération décimale, de l'Inde. D'autres en font l'honneur aux Grecs.
Une chose en tout cas est certaine : les progrès apportés par les savants arabes transformèrent l'algèbre du tout au tout.
L'application de l'algèbre à la géométrie est due aux Arabes. Elle fut l'œuvre de Thabit ben Carrah, mort en l'an 900.
Les travaux des savants musulmans en géométrie furent particulièrement importants.
Les Arabes, en effet, modifièrent entièrement cette science en ramenant la résolution des triangles à un certain nombre de théorèmes fondamentaux qui servent de base à la trigonométrie.
« On avait toujours pensé, dit M. Chasles, que les Arabes n'avaient pas été au-delà des équations du second degré ; mais le fond cette opinion sur ce que Fibonacci et Lucas de Burgo s'étaient arrêtés à ce point de la science. Montucla, le premier, l'a mise en doute, en faisant remarquer qu'on pouvaient avoir traité des équations du troisième degré ; il se fondait sur le titre Algebra cubica, sous le problematum solidorum resolutione) d'un manuscrit apporté de l'Orient par le célèbre Golius, qui se trouve dans la bibliothèque de Leyde. Le fragment trouvé dans le manuscrit N° 1104 confirme la conjecture de Montucla et en fait un des plus importants de l'histoire scientifique des Arabes. »
La trigonométrie est une des parties des mathématiques que les Arabes cultivèrent avec le plus de soin, en raison de ses applications à l'astronomie. Aussi leur dut-elle de nombreux perfectionnements qui lui donnèrent une forme nouvelle, et la rendirent propre à des applications que les Grecs n'auraient pu faire que très péniblement.
Les premiers progrès de la trigonométrie datent d'Al-Batani (Albategni). Ce grand astronome, surnommé le Ptolémée des Arabes, l'heureuse et féconde idée de substituer aux extrémités des arcs, dont les Grecs se servaient dans leurs calculs trigonométriques, les demi-cordes des arcs doubles, c'est-à-dire les sinus des arcs proposés. « Ptolémée, dit-il, ne se servait pas des cordes entières que pour la facilité des démonstrations ; mais nous, nous avons pris les moitiés des arcs doublés. ». Albatégni est parvenu à la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, dont il a fait diverses applications. On trouve dans ses ouvrages, pour la première idée des tangentes et des applications, l'expression sinus/cosinus, dont les Grecs ne se sont pas servis. Al-Batani fit entrer dans les calculs de gnomique et l'appelle ombre étendue. C'est la tangente trigonométrique des modernes. »✻
L'introduction des tangentes dans la trigonométrie se révéla d'une importance capitale. « Cette heureuse révolution dans la trigonométrie en bannissant les expressions composées et incommodes, contenant le sinus et le cosinus de l'inconnue, n'est opérée que cinq cents ans plus tard chez les Arabes ; mais en fait honneur à Régiomontanus : et près d'un siècle après lui, Copernic la connaissait à peine. »
Terminons cet aperçu sur les mathématiques en rappelant que Nasr ed-Dine Thûsi, qui vécut au XIIIᵉ siècle, fut le premier à mettre en doute l'intangibilité du postulat d'Euclide. Il doit être considéré comme le précurseur lointain de Lobatchevsky et de Riemann : la géométrie non-euclidienne.